Modelos

EJERCICIO

Un automovil (A) parte del reposo, acelerando a (2) (m/s) por cada segundo que transcurre. Del mismo lugar donde partió el automovil (A), sale un automovil (B) acelerando a (4) (m/s) por cada segundo, (3) segundos luego de la partida de (A).

¿Que tiempo habrá transcurrido para que el automovil (B) alcance a (A)?


Simulación del ejercicio en Modellus 4.01

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Solución analítica

Empecemos estableciendo las ecuaciones que se utilizarán
$${ x }_{ f }-{ x }_{ 0 }={ v }_{ 0 }t+\frac { 1 }{ 2 } a{ t }^{ 2 }\quad \quad  (1)$$$${ v }_{ f }={ v }_{ 0 }+at\quad (2)$$
Siendo (x) la distancia recorrida, (v) la velocidad, (a) la aceleración de la partícula y (t) el tiempo transcurrido.

Ahora, el automovil (B) parte (3) segundos despues de (A), para hacer las cosas mas sencillas, busquemos la velocidad que lleva (A) en ese instante. Entonces ${ v }_{ { f }_{ A } }={ v }_{ { 0 }_{ A } }+at$, pero la velocidad inicial de (a) es (0), luego ${ v }_{ { f }_{ A } }=at$, reemplazando se tiene que
$${ v }_{ { f }_{ A } }=(2)(3)$$
$${ v }_{ { f }_{ A } }=6\quad m/s$$
Además de lo anterior, busquemos qué distancia recorrió (A) en ese periodo de tiempo, se sabe que ${ x }_{ { f }_{ A } }-{ x }_{ { 0 }_{ A } }={ v }_{ { 0 }_{ A } }t+\frac { 1 }{ 2 } { a }_{ A }{ t }^{ 2 }$, pero ${ x }_{ { 0 }_{ A } }$ y ${ v }_{ { 0 }_{ A } }$ son ceros, luego la ecuación toma la forma de ${ x }_{ { f }_{ A } }=\frac { 1 }{ 2 } { a }_{ A }{ t }^{ 2 }$. Reemplazando
$${ x }_{ { f }_{ A } }=\frac { 1 }{ 2 } (2){ (3) }^{ 2 }$$
$${ x }_{ { f }_{ A } }=9\quad m$$
Ahora, que se tiene la velocidad y distancia de (A) en el instante que (B) parte, analicemos el movimiento desde este instante, esta velocidad final ${ v }_{ { f }_{ A } }$ será ahora una velocidad inicial ${ v }_{ { 0 }_{ A } }$, y lo mismo sucede con ${ x }_{ { f }_{ A } }$, pasará a ser ${ x }_{ { 0 }_{ A } }$ para el momento que analizaremos a continuación.
Entonces, para hallar el tiempo que es lo que se pide, se utilizarán las fórmulas
$${ x }_{ { f }_{ A } }-{ x }_{ { 0 }_{ A } }={ v }_{ { 0 }_{ A } }t+\frac { 1 }{ 2 } { a }_{ A }{ t }^{ 2 }$$
$${ x }_{ { f }_{ B } }-{ x }_{ { 0 }_{ B } }={ v }_{ { 0 }_{ B } }t+\frac { 1 }{ 2 } { a }_{ B }{ t }^{ 2 }$$
Pero representan ceros: la velocidad inicial de (B) y la distancia inicial recorrida de (B). Por lo tanto la segunda ecuación queda
$${ x }_{ { f }_{ B } }=\frac { 1 }{ 2 } { a }_{ B }{ t }^{ 2 }$$
Se sabe que el momento en el que (B) alcance a (A), ambos automoviles habran recorrido la misma distancia, es decir, tendran la misma ${ x }_{ f }$, por consiguiente, pueden igualarse las ecuaciones que modelizan ${ x }_{ f }$ para cada uno, así
$${ v }_{ { 0 }_{ A } }t+\frac { 1 }{ 2 } { a }_{ A }{ t }^{ 2 }+{ x }_{ { 0 }_{ A } }=\frac { 1 }{ 2 } { a }_{ B }{ t }^{ 2 }$$
Reemplazando valores, se llega a la ecuación cuadrática
$$(6)t+\frac { 1 }{ 2 } (2){ t }^{ 2 }+(9)=\frac { 1 }{ 2 } (4){ t }^{ 2 }$$
$${ t }^{ 2 }-6t-9=0$$
Hallando (t) se tiene que
$${ t }=7,2\quad seg\quad y\quad t=-1,24\quad seg$$
Se descarta el valor negativo ya que es un caso imposible. Pero el valor de (7,2) aún no es la respuesta, hay que recordar que ya habían transcurrido (3) segundos desde el inicio del movimiento, por consiguiente, a ese valor deben sumarsele (3) unidades, luego
$${ t }=10,2\quad seg$$