Modelos

EJERCICIO

Un automovil $A$ parte del reposo, acelerando a $2$ $m/s$ por cada segundo que transcurre. Del mismo lugar donde partió el automovil $A$, sale un automovil $B$ acelerando a $4$ $m/s$ por cada segundo, $3$ segundos luego de la partida de $A$.

¿Que tiempo habrá transcurrido para que el automovil $B$ alcance a $A$?


Simulación del ejercicio en Modellus 4.01

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Solución analítica

Empecemos estableciendo las ecuaciones que se utilizarán
$${ x }_{ f }-{ x }_{ 0 }={ v }_{ 0 }t+\frac { 1 }{ 2 } a{ t }^{ 2 }\quad \quad  (1)$$ $${ v }_{ f }={ v }_{ 0 }+at\quad (2)$$
Siendo $x$ la distancia recorrida, $v$ la velocidad, $a$ la aceleración de la partícula y $t$ el tiempo transcurrido.

Ahora, el automovil $B$ parte $3$ segundos despues de $A$, para hacer las cosas mas sencillas, busquemos la velocidad que lleva $A$ en ese instante. Entonces ${ v }_{ { f }_{ A } }={ v }_{ { 0 }_{ A } }+at$, pero la velocidad inicial de $a$ es $0$, luego ${ v }_{ { f }_{ A } }=at$, reemplazando se tiene que
$${ v }_{ { f }_{ A } }=(2)(3)$$
$${ v }_{ { f }_{ A } }=6\quad m/s$$
Además de lo anterior, busquemos qué distancia recorrió $A$ en ese periodo de tiempo, se sabe que ${ x }_{ { f }_{ A } }-{ x }_{ { 0 }_{ A } }={ v }_{ { 0 }_{ A } }t+\frac { 1 }{ 2 } { a }_{ A }{ t }^{ 2 }$, pero ${ x }_{ { 0 }_{ A } }$ y ${ v }_{ { 0 }_{ A } }$ son ceros, luego la ecuación toma la forma de ${ x }_{ { f }_{ A } }=\frac { 1 }{ 2 } { a }_{ A }{ t }^{ 2 }$. Reemplazando
$${ x }_{ { f }_{ A } }=\frac { 1 }{ 2 } (2){ (3) }^{ 2 }$$
$${ x }_{ { f }_{ A } }=9\quad m$$
Ahora, que se tiene la velocidad y distancia de $A$ en el instante que $B$ parte, analicemos el movimiento desde este instante, esta velocidad final ${ v }_{ { f }_{ A } }$ será ahora una velocidad inicial ${ v }_{ { 0 }_{ A } }$, y lo mismo sucede con ${ x }_{ { f }_{ A } }$, pasará a ser ${ x }_{ { 0 }_{ A } }$ para el momento que analizaremos a continuación.
Entonces, para hallar el tiempo que es lo que se pide, se utilizarán las fórmulas
$${ x }_{ { f }_{ A } }-{ x }_{ { 0 }_{ A } }={ v }_{ { 0 }_{ A } }t+\frac { 1 }{ 2 } { a }_{ A }{ t }^{ 2 }$$
$${ x }_{ { f }_{ B } }-{ x }_{ { 0 }_{ B } }={ v }_{ { 0 }_{ B } }t+\frac { 1 }{ 2 } { a }_{ B }{ t }^{ 2 }$$
Pero representan ceros: la velocidad inicial de $B$ y la distancia inicial recorrida de $B$. Por lo tanto la segunda ecuación queda
$${ x }_{ { f }_{ B } }=\frac { 1 }{ 2 } { a }_{ B }{ t }^{ 2 }$$
Se sabe que el momento en el que $B$ alcance a $A$, ambos automoviles habran recorrido la misma distancia, es decir, tendran la misma ${ x }_{ f }$, por consiguiente, pueden igualarse las ecuaciones que modelizan ${ x }_{ f }$ para cada uno, así
$${ v }_{ { 0 }_{ A } }t+\frac { 1 }{ 2 } { a }_{ A }{ t }^{ 2 }+{ x }_{ { 0 }_{ A } }=\frac { 1 }{ 2 } { a }_{ B }{ t }^{ 2 }$$
Reemplazando valores, se llega a la ecuación cuadrática
$$(6)t+\frac { 1 }{ 2 } (2){ t }^{ 2 }+(9)=\frac { 1 }{ 2 } (4){ t }^{ 2 }$$
$${ t }^{ 2 }-6t-9=0$$
Hallando $t$ se tiene que
$${ t }=7,2\quad seg\quad y\quad t=-1,24\quad seg$$
Se descarta el valor negativo ya que es un caso imposible. Pero el valor de $7,2$ aún no es la respuesta, hay que recordar que ya habían transcurrido $3$ segundos desde el inicio del movimiento, por consiguiente, a ese valor deben sumarsele $3$ unidades, luego
$${ t }=10,2\quad seg$$