Geogebra

Retos propuestos por el club de Geogebra de Iberoamérica

• Dos ciclistas están circulando en un circuito descrito por dos circunferencias concéntricas de radios una doble que la otra. ¿Qué velocidad deben de llevar uno respecto al otro para que den el mismo número de vueltas?

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Solución

La solución al enunciado es simple, lo que están pidiendo es determinar la velocidad Lineal $V$ de uno con respecto a la del otro, si el periodo $T$ es el mismo para ambos ciclistas. Se tiene que

$$T=\frac { 2\pi r }{ { V }_{ L } }$$

Como los periodos son iguales, se pueden igualar los de ambos ciclistas.
$$\frac { 2\pi { r }_{ 1 } }{ { V }_{ { L }_{ 1 } } } =\frac { 2\pi { r }_{ 2 } }{ { V }_{ { L }_{ 2 } } }$$
Pero el radio del de la circunferencia mayor -2- es dos veces el radio del de la circunferencia menor
$$\frac { 2\pi { r }_{ 1 } }{ { V }_{ { L }_{ 1 } } } =\frac { 2\pi { (2r }_{ 1 }) }{ { V }_{ { L }_{ 2 } } }$$
Simplificando la igualdad, dejando la velocidad lineal del segundo ciclista en términos del primero, se tiene que
$${ V }_{ { L }_{ 2 } }=2{ V }_{ { L }_{ 1 } }$$
Luego, el ciclista de la circunferencia mayor, tiene que ir al doble de velocidad del ciclista de la circunferencia menor para dar el mismo número de vueltas en el mismo periodo de tiempo.

• Al trazar una secante cualquiera a una circunferencia, determina dos arcos. Sea $AB$ uno de esos arcos. Determina el valor de los ángulos inscritos cuyos lados pasan por los puntos de intersección de la secante con la circunferencia.

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Respuesta

El valor de los ángulos inscritos siempre será el mismo, por más que se muevan las cuerdas que forman el ángulo, siempre y cuando la longitud del arco no varíe.

• Por el punto de tangencia de dos circunferencias se traza una secante común. Deducid la relación entre los objetos siguientes: a) Los radios trazados en los extremos de la secante común. b) Las tangentes trazadas en esos mismos puntos.   c) La relación entre los ángulos centrales determinados en cada circunferencia por los puntos anteriores y el punto de tangencia común.

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Respuesta

a) Los radios son paralelos, sin importar las transformaciones de las circunferencias

b) Las tangentes igualmente son paralelas, sin importar las transformaciones

c) Se mantiene la congruencia entre dichos ángulos.

• En una circunferencia de centro $O$, se trazan dos radios perpendiculares $OA$ y $OB$. Sea $P$ un punto cualquiera de $OB$. Traza la recta $AP$ que cortará a la circunferencia en el punto $C$. Traza la recta tangente a la circunferencia en el punto $C$ que cortará a la prolongación del radio $OB$ en $D$. Intenta determinar qué tipo de triángulo es $PCD$.

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Respuesta

El triángulo $PCD$ es isóceles, puede observarse en la simulación con Geogebra, que no importa las transformaciones que se le hagan a la construcción, dos de sus lados, y dos de sus ángulos permaneceran congruentes.

• Sea $ABC$ un triángulo inscrito en una circunferencia de centro $O$. La altura trazada por el punto $A$ corta a la circunferencia en un punto $H$. Sea $A'$ el punto diametralmente opuesto al punto $A$. Determina la relación entre los ángulos $BAA'$ y $CAH$. ¿Qué ocurre con las bisectrices de los ángulos $BCA$ y $AA'H$?

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Respuesta

Para cualquiera de los triángulos, el ángulo correspondiente al vértice $A$, siembre será congruente con el del otro triángulo, y el lado opuesto a $A$ también lo es, para $BAA'$ es el segmento $BA'$ y para $AA'H$ es el segmento $HC$.

Las bisectrices de los ángulos $BCA$ y $AA'H$ cortan a los segmentos $AB$ en $D$ y a $HC$ en $E$ respectivamente, estableciendo una proporcionalidad de segmentos:
$$\frac { AD }{ CE } =\frac { DB }{ EH }$$